sabato 26 aprile 2008

Contraddittorio, incompleto, indimostrabile


Assiomi di Peano


Contraddittorio, incompleto, indimostrabile

di Nicola
Mazapegul



Chiunque sia stato amante respinto o amato respingente sa che l' appello alla logica è l' ultima speranza di chi la speranza l' ha perduta. Nelle ultime convulsioni dell' amore finito o dell'innamoramento a vuoto risuonano i "ma tu avevi detto...", "se le tue parole hanno un valore...", "proprio quello che dici ti obbliga... ", "se era eterno, non può finire!"
E la caritatevole bugia e il gentile lenimento vengono dall' interlocutore analizzati e sviscerati in base al loro puro valore di verità. Senza pietà per l'altro, e ancor meno per sè.

Questa comune esperienza ci suggerisce di restringere il campo delle frasi che consideriamo "logicamente", almeno in prima istanza, a quelle che trattano del mondo degli oggetti sensibili e degli ancor meglio definibili oggetti mentali. Abbiamo già visto come sia pericoloso ammettere frasi che in qualche modo predicano se stesse ("io mento"), che quindi escludiamo dal nostro orizzonte. Tagliando un po' alla grossa, riduciamo il nostro universo ai numeri "naturali": 0,1,2,...n,...
Alcune frasi riguardanti i numeri interi sono vere ("2+2=4") e altre false ("3=2"). Queste che ho appena scritto possono essere verificate con un pallottoliere (magari uno di quelli grandi, "123456789+987654321=1111111110"). Altre riguardano infiniti numeri, e debbono essere analizzate diversamente:

(1) se n è naturale e divisibile per 4, allora è divisibile per 2 [vera];
(2) esistono numeri naturali n e m tali per cui 6n-12m=1 [falsa: il numero a sinistra di = è pari, quello a destra è dispari];
(3) dato un numero naturale n, esiste un numero primo p>n tale che anche p+2 è primo [al momento non si sa; alcune coppie di numeri primi del tipo (p,p+2) sono : (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), ...].

E' un artigianato assai antico, e ancora in sviluppo, quello di elaborare delle strategie corrette per stabilire se frasi del tipo (1), (2), (3) siano vere o false. Alla base di questo artigianato sta quasi sempre il metodo assiomatico, di derivazione ellenistica (Euclide): (i) si fissano alcuni "assiomi" che descrivano in maniera completa il nostro universo di oggetti e le sue proprietà principali; (ii) si fissano alcune strategie corrette per dedurre da alcune frasi vere altre frasi vere ("regole d' inferenza", nel gergo contemporaneo); (iii) data una frase F si cerca, partendo da (i) e utilizzando (ii) (aiutandosi con tanta immaginazione), di arrivare a F (che quindi diventa un "teorema") o alla negazione di F (nel qual caso il "teorema" sarà "non F").

E proprio qui, dove si gettano le fondazioni del pensiero "deduttivo", occorre fare molta attenzione. I nemici da schivare sono due: CONTRADDIZIONE e INCOMPLETEZZA.
Si ha una contraddizione quando, a partire dai nostri assiomi, possiamo dedurre sia una certa frase F che la sua negazione, "non F". Un principio di logica, infatti, ci dice che in tal caso TUTTE le frasi sono dimostrabili a partire dai nostri assiomi (tutti i gatti sono bigi: siamo nella notte della ragione).

A chi gli chiedeva di dimostrare che "se 3=2, allora io sono il Papa", Russel rispose: "se 3=2, allora, sottraendo 1 da entrambe le parti dell'uguaglianza, 2=1: se lei e il Papa siete due persone distinte, allora siete la stessa persona".

Il problema è che le frasi deducibili dai nostri assiomi sono infinite: come avere certezza che non ci sia alcuna contraddizione, magari nell'infinito novero delle frasi poco significative che nessuno si cura mai di considerare? L'incompletezza, invece, si ha quando una frase di cui, a primo acchito, dovremmo poter dire se sia vera o falsa, non è né vera, né falsa (esistono universi in cui i nostri assiomi valgono, ed è vera, mentre in altri gli assiomi valgono, ed è falsa).

Un esempio famigliare (a posteriori) è il seguente.
Prendiamo come assiomi dei numeri naturali:
(A1) 0 è un numero naturale;
(A2) per ogni naturale n, n+1 è un naturale;
(A3) se n+1=m+1, allora n=m;
(A4) [assioma sulle proprietà ereditarie] se un insieme contiene 0 e se, ogni volta che contiene un numero n, contiene anche n+1, allora questo insieme contiene tutti i numeri naturali. (Spiegazione: contiene 0, quindi anche 1=0+1, quindi anche 2=1+1, quindi...).

Consideriamo ora la frase "13=1". Osservando il vostro orologio da polso (a lancette), troverete vera sia la frase (le ore 13 corrispondono alla posizione 1 della lancetta) che gli assiomi.
Se invece vi rivolgete ai soliti (infiniti) numeri naturali, la troverete falsa (non accettereste 1 euro in cambio di 13).
Il sistema di assiomi diventa completo (e in tale forma fu escogitato da Peano alla fine del secolo XIX) aggiungendone un quinto:
(A5) se n è un naturale, allora n+1 è diverso da 0. (L'orologio non verifica questo assioma: l'ora 11+1=0, dove abbiamo posto 0 l'ora di mezzogiorno - o mezzanotte).
Con i cinque assiomi di Peano, mostrare l'incompletezza pare più difficile (ci torneremo un'altra volta).

Abbiamo però un terzo problema. Supponiamo pure che i nostri assiomi descrivano senza ambiguità i numeri naturali e che non ci siano contraddizioni. Partendo da essi e utilizzando le nostre regole di ragionamento, deduciamo tutte le loro possibili conseguenze (i "teoremi" della nostra teoria). Siamo sicuri che nel nostro carnet di proprietà così dimostrate siano finite TUTTE le proprietà vere?
In linea di principio, infatti, non si può escludere che -per esempio- la frase (3) sia vera (che, cioè, per infiniti numeri primi p si abbia che p+2 è primo a sua volta), ma che questa proprietà non sia dimostrabile a partire dagli assiomi di Peano. Metaforicamente, siamo dalle parti della religione (o delle teorie cospiratorie): è vero, ma non dimostrabile. Più concretamente, con questi dubbi in mente ci stiamo avvicinando ai teoremi di Goedel.

Una testimonianza su Peano

P.S. Le tre immagini nel testo sono, a partire dall'alto, di Giacomo Balla (Numeri innamorati, 1920), di Nicolaj Diulgheroff (L'Uomo Razionale, 1928) e di Jaspers Johns (Numbers in Colors, 1958). (s)

Giuseppe Peano

7 commenti:

Solimano ha detto...

Nicola, l'innamorato in difficoltà cerca un ubi consistam certificato ISO 9000: cosa è meglio della logica? Però il vero protettore degli innamorati non è San Valentino, ma Sant'Anselmo d'Aosta, quello della prova ontologica dell'esistenza di Dio: "Dio è ciò di cui non si può pensare il maggiore" (Id quo maius cogitari nequit). Analogamente l'innamorato in difficoltà, guidato da questa chiarissima frase del suo nuovo protettore Anselmo: «credo per intendere, e se prima non crederò, non potrò intendere», procede magnis itineribus facendosi piacere la trappola in cui si è cacciato da solo.
Motevole la finezza di Tommaso d'Aquino, che alla prova ontologica non credeva:
"Tra gli atei non è a tutti noto che Egli è quanto di più grande si possa pensare".
Resta il fatto molto preoccupante che alla prova ontologica credettero Cartesio, Leibniz ed Hegel. Mentre l'argomentazione semplicissima è quella di Gaunilone: nonostante si possa immaginare un'isola piena di delizie, ciò non dimostra la sua esistenza. Che è in fondo quello che secoli dopo dirà Kant. Ma l'innamorato è come Hegel: "tutto ciò che è reale è razionale, tutto ciò che è razionale è reale", proprio come il suo amore.
Il giorno in cui finalmente si rende conto che quello che lui chiama amore non è né reale né razionale, ci mette molto tempo ad arrivare, persino anni.
Il fatto è che questo tipo di innamorati sono molto più avanti di voi, matematici dubbiosi e miscredenti. Usano una logica priva di contraddizioni, completa e che per ciò stesso si dimostra da sola, una bella logica che si autologicizza!
Ma l'innamorato lo posso scusare, Hegel no. Si è visto, come il razionale è reale ed il reale razionale.
Ti ho letto con attenzione ed ho capito (quasi) tutto. I miei neuroni sono freschi di doccia, ma Peano, perché usava quella lingua latinesca? Forse per piacere alle donne, così si ritornerebbe alla logica degli innamorati, un bel gioco senza fine pericoloso. Meno male che in genere i matematici s'inamorano di corollari e congetture più che di persone...

grazie e saludos
Solimano

Roby ha detto...

Probabilmente -l'ho già detto e scritto altre volte- la mia avversione per i numeri deriva dal fatto che, dalla prima media alla fine del liceo, ho avuto professoresse di matematica al confronto delle quali le Arpìe erano amorevoli suorine di madre Teresa, mentre Jack lo Squartatore o Gengis Khan sarebbero sicuramente scoppiati in lacrime come bambini davanti ad un loro rimprovero...

...certo, la materia per me resta ostica, ma -se "spiegata" da Maz- ha un che di divertente che intriga: peccato io sia ormai fuori tempo massimo!!!!

Saluti interattivi

Roby

Giuliano ha detto...

L'altro giorno m'hanno chiesto:
- Aimez vous Sarkozy?
Ci ho risposto:
- Non, je prefer Arcozzy.
Beh, non è un gran complimento.
PS: saluti anche dal bradipo.

mazapegul ha detto...

Dopo aver spedito i post logici ho vauto un ripensamento e un pentimento. In effetti, scritti in forma di "articolo" sono poco digeribili. Ho pensato: e se li riscrivessi in forma di dialogo? In cui uno dei personaggi è l'avvocato del lettore: chiede, critica, sospetta? Non appena ho un attimo di tempo provo a cambiare il genere. (O in forma di commedia?).

Solimano: noi matematici siamo, nel lavoro, (inconsapevolmente) convinti almeno quanto i fisici che reale e razionale coincidano. Fortunatamente, lasciati i taccuini riprendiamo a guardare le cose nella loro irriducibile contradditorietà (anche i matematici e le matematiche, tra l'altro, s'innamorano, e non diversamente dai meccanici o dalle segretarie).
La lingua usata da Peano nel foglio riportato è, credo, esperanto, di cui egli fu un convinto promotore.

Roby, già che tu sia arrivata in fondo a un pezzo scritto troppo in fretta (rispettare il lettore richiede un maggior dispendio di tempo) è un gran ragalo.

Giuliano: ho passato la poesia del bradipo anche a un collega catalano, ma che conosce l'italiano alla perfezione, che ne ha voluto una copia da portarsi dietro a Barcellona. Nei prossimi giorni ne publico delle altre.

Solimano ha detto...

Poiché sono a mezza via, sapendone un po' per via degli studi ma senza avere la mens mathematica vera e propria, ho una mia opinione su che cosa possa servire.
Sostengo che di questi argomenti ce n'é bisogno come del pane, anche e soprattutto in rete.
Per tanti motivi, per me ce n'è uno che non vedo per nulla secondario: la matematica aiuta ad imparare a discutere efficacemente, perché a vista d'occhio una discussione fra letterati (anche qui sono a mezza via...) tende a non finire mai, mentre la mens mathematica (anche se campestre)aiuta a venirne ad una, perché c'è il gusto di scoprire come stanno le cose, più che il gusto di prevalere nella discussione (gusto che comunque esiste).
Poi, credo importante un'altra cosa. Se uno legge il post di Nicola che abbiamo sotto gli occhi, ci si può trovare in difficoltà, perché si inciampa in una cosa che non si capisce. Bene, si registri la non-comprensione e si vada avanti su quello che c'è scritto nelle righe successive. E' un consiglio un po' uovo di Colombo, ma fatto sta che molti non sanno che è meglio fare così, quello scritto prima si capirà poi.
Quindi Nicola, fai mo' come ti pare, basta che scrivi qui e altrove, per il bene delle presenti e delle future generazioni.

saludos
Solimano

Roby ha detto...

Oddio, mi ci sono soffermata solo adesso... Sarkozy... Arcozzy... GIULIANO, sei inarrivabile!!!!!!!

[;->>>]

Roby

Giuliano ha detto...

Beh, non è una gran battuta. Ma forse anche il folletto mazapegul è d'origine ungherese, come Béla Bartok.